Question

17．在矩形ABCD中，∠CAB═30°，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=12．

Answer 1

分析 利用矩形的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，求得|$\overrightarrow{AD}$|=2=|$\overrightarrow{BC}$|．再根據(jù)tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2}{|\overrightarrow{AB}|}$，求得|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{3}$，可得|$\overrightarrow{AC}$|的值，從而求得 $\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cos30° 的值．

解答 解：在矩形ABCD中，∠CAB═30°，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos60°=|$\overrightarrow{AC}$|，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=2=|$\overrightarrow{BC}$|．
再根據(jù)tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{|\overrightarrow{BC|}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{2}{|\overrightarrow{AB}|}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{12+4}$=4，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•cos30°=12，
故答案為：12．

點評 本題主要考查矩形的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．