Question

已知二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠-

1

a

}，且a＞b，則

a2+b2

a-b

的最小值是（　　）

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、3

  2

• D、3

  3

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠-

1

a

}，求出a，b的關(guān)系，代入

a2+b2

a-b

，利用基本不等式確定其最小值．

解答： 解：關(guān)于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集為{x|x≠-

1

a

}，
則二次函數(shù)y=ax²+2x+b，圖象開口向上，a＞0，△≤0，
當(dāng)x=-

1

a

為不等式對應(yīng)的方程ax²+2x+b=0的根，代入可得b=

1

a

，ab=1，

a2+b2

a-b

=

(a-b)2+2

a-b

═（a-b）+

2

a-b

≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b+

2

取等號）
故選：A．

點評：本題考查三個二次關(guān)系，涉及到二次不等式，二次函數(shù)和二次方程的相關(guān)知識，最后使用基本不等式求解，屬于不等式的綜合題目．