Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式前兩項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第三項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
則f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
則f（x）的值域?yàn)閇-1，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．