Question

已知向量

a

=（

3

sinx，-cosx），

b

=（cosx，cosx），記函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且c=

3

，f（C）=

1

2

，若向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）函數(shù)化簡為：f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，即可求得f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（C）=

1

2

可求C的值，根據(jù)向量m與n共線可求得b=2a，再根據(jù)a²+b²-ab=3，進而解得a，b的值．

解答： 解：（1）依題意，f（x）=

3

sinxcosx-cos²x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

（3分）
所以最小正周期T=

2π

2

=π，（4分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．（6分）
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-

1

2

=

1

2

，得sin（2C-

π

6

）=1，（7分）
因為0＜C＜π，所以-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，所以2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

，（8分）
因為向量m=（1，sinA）與n=（2，sinB）共線，所以sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…①（9分）
在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3，…②（11分）
由①②，解得a=1，b=2．（13分）

點評：本題主要考察了平面向量數(shù)量積的運算，余弦定理、兩角和與差的正弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．