Question

在△ABC中，設(shè)向量，且，．
（1）求證：A+B=；
（2）求sinA+sinB的取值范圍；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，試確定實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得sin2A=sin2B，進(jìn)而可得A=B，或A+B=，經(jīng)驗(yàn)證可排除A=B；
（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（）=sin（A+），由A的范圍逐步可得；
（3）可得x=，令sinA+cosA=t∈（1，]，換元后可得關(guān)于t的函數(shù)，由t的范圍可得．
解答：解：（1）∵向量，且，
∴sinAcosA-sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
化簡可得A=B，或A+B=，但A=B時(shí)有，與已知矛盾，故舍去，
故有A+B=；
（2）由（1）可知A+B=，故sinA+sinB=sinA+sin（）
=sinA+cosA=sin（A+），
∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴1＜sin（A+）≤
故sinA+sinB的取值范圍是（1，]；
（3）由題意可知x==，
設(shè)sinA+cosA=t∈（1，]，則t²=1+2sinAcosA，故sinAcosA=，
代入可得x===≥=2
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為：[，+∞）
點(diǎn)評：本題考查向量的平行和共線，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．