Question

18．已知函數(shù)h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3，t∈（0，4）在t=a時(shí)取到最小值，三個(gè)正數(shù)x，y，z滿足xyz（x+y+z）=a，則（x+y）（y+z）的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3=t+1+$\frac{9}{t+1}$-4，由基本不等式求得t=2，a=2取得最小值，再由y（x+y+z）=$\frac{2}{xz}$，（x+y）（y+z）=xz+y（x+y+z）=xz+$\frac{2}{xz}$，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：函數(shù)h（t）=t+$\frac{9}{t+1}$-3
=t+1+$\frac{9}{t+1}$-4，
由t∈（0，4），即t+1∈（1，5），
則h（t）≥2$\sqrt{（t+1）•\frac{9}{t+1}}$-4=2，
當(dāng)且僅當(dāng)t+1=$\frac{9}{t+1}$，即t=2時(shí)，取得最小值2．
即有a=2，xyz（x+y+z）=2，
則y（x+y+z）=$\frac{2}{xz}$，
即有（x+y）（y+z）=xz+y（x+y+z）=xz+$\frac{2}{xz}$≥2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)xz=$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．