Question

1．{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求{a_n}通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．

解答 證明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，
兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$，
解得a_n=$\frac{3}{n+2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．