Question

12．已知點(diǎn)P（sinθ-cosθ，sinθ+cosθ）在第一象限，則在（0，2π）內(nèi)θ的取值范圍是$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)在第一象限，建立不等式關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵P（sinθ-cosθ，sinθ+cosθ）在第一象限，
∴sinθ-cosθ＞0且sinθ+cosθ＞0，
即sinθ＞cosθ且sinθ+cosθ＞0，
∵0＜x＜2π，
∴由sinθ＞cosθ得$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$，
由sinθ+cosθ＞0得$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）＞0，
即2kπ＜θ+$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，k∈Z，
即2kπ-$\frac{π}{4}$＜θ＜2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
∵θ∈（0，2π），
∴當(dāng)k=0時(shí)，-$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$，此時(shí)0＜θ＜$\frac{3π}{4}$，
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{7π}{4}$＜θ＜2π+$\frac{3π}{4}$，
∵θ∈（0，2π），
∴$\frac{7π}{4}$＜θ＜2π，
綜上0＜θ＜$\frac{3π}{4}$或$\frac{7π}{4}$＜θ＜2π，
∵$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的象限和坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．