Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d不為0，且 ， ，…， ，…（k1＜k2＜…＜kn＜…）成等比數(shù)列，公比為q．
（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求 的值；
（2）當(dāng) 為何值時，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列；
（3）若數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，且對于任意n∈N* ， 不等式 恒成立，求a1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：a1，a3，a8成等比數(shù)列，

所以 ，

整理可得：4d2=3a1d．

因為d≠0，所以

（2）解：設(shè)數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，則 ．

又因為 ， ， 成等比數(shù)列，

所以 ．

整理，得 ．

因為 ，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．

因為2k2≠k1+k3，所以a1=d，即 ．

當(dāng) 時，an=a1+（n﹣1）d=nd，所以 ．

又因為 ，所以 ．

所以 ，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列．

綜上，當(dāng) 時，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列

（3）解：因為數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，由（2）知a1=d， ．

，an=a1+（n﹣1）d=na1．

因為對于任意n∈N*，不等式 恒成立．

所以不等式 ，

即 ， 恒成立．

下面證明：對于任意的正實數(shù)ε（0＜ε＜1），總存在正整數(shù)n1，使得 ．

要證 ，即證lnn1＜n1lnq+lnε．

因為 ，則 ，

解不等式 ，即 ，

可得 ，所以 ．

不妨取 ，則當(dāng)n1＞n0時，原式得證．

所以 ，所以a1≥2，即得a1的取值范圍是[2，+∞）

【解析】（1）由已知得：a1 ， a3 ， a8成等比數(shù)列，從而4d2=3a1d，由此能求出 的值．（2）設(shè)數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，則 ，推導(dǎo)出 ，從而 ，進(jìn)而 ．由此得到當(dāng) 時，數(shù)列{kn}為等比數(shù)列．（3）由數(shù)列{kn}為等比數(shù)列，a1=d， ．得到 ， 恒成立，再證明對于任意的正實數(shù)ε（0＜ε＜1），總存在正整數(shù)n1 ， 使得 ． 要證 ，即證lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范圍．
【考點精析】掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道{an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列．