Question

已知圓O：x²+y²=4，直線l1：

3

x+y-2

3

=0與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在第一象限．
（1）求|AB|；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±1）是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P₁，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₂，如果直線AP₁，AP₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n）．問(wèn)m•n是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出圓心O到直線的距離d，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．
（2）解方程組求得A 的坐標(biāo)，設(shè) P

x0，y0

 （x₀≠±1），求得P₁、P₂的坐標(biāo)，再根據(jù)AP₁的方程求得m的值，根據(jù)AP₂的方程求得n的值，從而求得m•n的值．

解答：解：（1）由于圓心O（0，0）到直線

3

x+y-2

3

=0的距離d=

3

，
圓的半徑r=2，∴|AB|=2

r2-d2

=2．
（2）是定值，理由如下
解方程組

3 x+y-2 3 =0 x2+y2=4

，可得 A(1，

3

)，
設(shè) P

x0，y0

 （x₀≠±1），則 P1

-x0，-y0

，P2

x0，-y0

，

x

2 0

+

y

2 0

=4，
由AP₁：y-

3

=

3 +y0

1+x0

(x-1)，令x=0，得m=

3 x0-y0

1+x0

．
由AP₂：y-

3

=

3 +y0

1-x0

(x-1)，令x=0，得n=

- 3 x0-y0

1-x0

．
∴m•n=

3 x0-y0

1+x0

•

- 3 x0-y0

1-x0

=

-4( x 2 0 -1)

1- x 2 0

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，屬于中檔題．