【題目】已知集合.對(duì)于, ,定義之間的距離為

(Ⅰ)寫出中的所有元素,并求兩元素間的距離的最大值;

(Ⅱ)若集合滿足: ,且任意兩元素間的距離均為2,求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合;

(Ⅲ)設(shè)集合, 中有個(gè)元素,記中所有兩元素間的距離的平均值為,證明

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.

【解析】試題分析:

(1)在新定義的 中令 ,結(jié)合集合的定義求得 并求解“距離”的最大值即可;

(2)數(shù)形結(jié)合,將問題轉(zhuǎn)化為正方體在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),利用幾何關(guān)系處理該問題使得問題更加簡(jiǎn)單明了;

(3)利用題意結(jié)合排列組合的知識(shí)處理 的式子,然后結(jié)合組合數(shù)和不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得結(jié)論.

試題解析:

(Ⅰ), ,

(Ⅱ)中含有8個(gè)元素,可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn),已知集合中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn),所以

,

集合中元素個(gè)數(shù)最大值為4.

(Ⅲ),其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和.

設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1, 個(gè)0,則

由于

所以

從而

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲在4局以內(nèi)(4)贏得比賽的概率;

(2)X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了月份每月號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:

日期

晝夜溫差

就診人數(shù)(個(gè))

16

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取組,用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率;

(2)若選取的是月與月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)月份的數(shù)據(jù),求出 關(guān)于的線性回歸方程;

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(2)中所得線性回歸方程是否理想?

參考公式:

img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/15/5e628df7/SYS201712291544309711452715_ST/SYS201712291544309711452715_ST.020.png" width="244" height="61" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形, 平面, ,點(diǎn)的中點(diǎn).

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年來空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān),在市第一人民醫(yī)院隨機(jī)對(duì)入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如表的列聯(lián)表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

5

10

合計(jì)

50

已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為.

(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;

(2)是否有99%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由.

參考格式: ,其中.

下面的臨界值僅供參考:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖,在陽(yáng)馬中,側(cè)棱底面,且, 中點(diǎn),點(diǎn)上,且平面,連接,

(Ⅰ)證明: 平面

(Ⅱ)試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;

(Ⅲ)已知, ,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知2件次品和3件正品放在一起,現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果.

1求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;

2已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求X的分布列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知指數(shù)函數(shù)

(1)函數(shù)過定點(diǎn),求的值;

(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;

(3)是否存在實(shí)數(shù),使得(2)中關(guān)于的函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.[選修4-1:幾何證明選講]

如圖, 分別與圓相切于點(diǎn), 經(jīng)過圓心,且,求證: .

B.[選修4-2:矩陣與變換]

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn), , ,先將正方形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),再將所得圖形的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半、橫坐標(biāo)不變,求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的矩陣.

C.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).現(xiàn)以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程.

D.[選修4-5:不等式選講]

已知為互不相等的正實(shí)數(shù),求證: .

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