Question

【題目】已知集合．對(duì)于， ，定義與之間的距離為．

（Ⅰ）寫出中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；

（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合；

（Ⅲ）設(shè)集合， 中有個(gè)元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：

(1)在新定義的 中令 ，結(jié)合集合的定義求得 并求解“距離”的最大值即可；

(2)數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為正方體在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系處理該問題使得問題更加簡單明了；

(3)利用題意結(jié)合排列組合的知識(shí)處理 的式子，然后結(jié)合組合數(shù)和不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）， ， ．

（Ⅱ）中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，所以

或，

集合中元素個(gè)數(shù)最大值為4．

（Ⅲ），其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和．

設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1， 個(gè)0，則

由于

所以

從而