Question

11．已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上恰好有10個零點，求正數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角及輔助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)圖象，f（x）=0，sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0，解得2x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z），當(dāng)k=10，為f（x）的第10個零點，求得m的最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$．
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
f（x）的最小正周期π；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
解得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z）；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上恰好有10個零點，
由正弦函數(shù)周期性，可知：f（x）=0，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）=0，
解得：2x+$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z），
∴x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，
∴當(dāng)k=10，x=$\frac{39π}{8}$，
正數(shù)m的最小值$\frac{39π}{8}$．

點評 本題考查三角恒等變換，二倍角公式及輔助角公式，考查正弦函數(shù)周期公式，單調(diào)性，正弦函數(shù)零點的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．