Question

18．函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$（a＞1），討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通分，再討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞）
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{a（x+a）-ax}{（x+a）^{2}}$
=$\frac{x[x-（{a}^{2}-2a）]}{（x+1）（x+a）^{2}}$
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若x∈（-1，a²-2a），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，a²-2a）上是增函數(shù)
若x∈（a²-2a，0），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a²-2a，0）上是減函數(shù)，若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)
③當(dāng)a＞2時(shí)，若x∈（-1，0），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)
若x∈（0，a²-2a），則f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，a²-2a）上是減函數(shù)
若x∈（a²-2a，+∞），則f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．難點(diǎn)是對(duì)導(dǎo)函數(shù)的討論．