Question

7．下列幾種說法：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
②等差數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公比為$\frac{1}{2}$；
③已知x＞0，y＞0，且x+y=1，則$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$的最小值為18；
④在△ABC中，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，則∠A=60°；
⑤數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n+1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
正確的序號有①③④．

Answer 1

分析 由正弦定理和三角形的邊角關(guān)系，即可判斷①；由等差數(shù)列的通項和等比數(shù)列的性質(zhì)，化簡計算即可判斷②；運用乘1法和基本不等式，即可得到最小值，即可判斷③；運用正弦定理和同角公式，即可判斷④；
運用數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，即可判斷⑤．

解答 解：對于①，在△ABC中，若sinA＞sinB，則2rsinA＞2rsinB，即a＞b，則A＞B，故①正確；
對于②，等差數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則a₃²=a₁a₄，（d為公差），
即有（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d），化簡可得d=0或a₁=-4d．即有a₁=a₃=a₄，公比為q=1，或公比q=$\frac{-4d+2d}{-4d}$=$\frac{1}{2}$，
故②錯誤；
對于③，x＞0，y＞0，且x+y=1，則$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=（x+y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$）=10+$\frac{8x}{y}$+$\frac{2y}{x}$≥10+2$\sqrt{\frac{8x}{y}•\frac{2y}{x}}$=18，故③正確；
對于④，在△ABC中，由$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，結(jié)合$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
即有tanA=tanB=tanC，即為A=B=C=60°，故④正確；
對于⑤，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-2n+1，當n=1時，a₁=S₁=0，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+1-（n-1）²+2（n-1）-1=2n-3．對n=1不成立．
則數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，故⑤錯誤．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理和余弦定理的運用，基本不等式的運用，考查化簡整理的能力，屬于中檔題和易錯題．