【題目】已知圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=16及直線l:(m+2)x+(3m+1)y=15m+10(m∈R).
(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓C恒相交;
(2)求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程.
【答案】(1)證明見解析;(2)最短長(zhǎng)度為,此時(shí)直線方程為x+y=7..
【解析】
(1)根據(jù)題意,利用直線系求出直線l恒過的定點(diǎn)(3,4),判斷該定點(diǎn)在圓的內(nèi)部,分析即可得答案,
(2)利用圓的半徑弦心距與半弦長(zhǎng)的關(guān)系判斷所求直線的位置,求出斜率,即可得到直線方程.
(1)證明:直線l可化為2x+y﹣10+m(x+3y﹣15)=0,
,解可得,
則直線l:(m+2)x+(3m+1)y=15m+10恒過點(diǎn)(3,4).
又有(3﹣2)2+(4﹣3)2=2<16,
則點(diǎn)(3,4)在圓內(nèi)部,
故不論m為何實(shí)數(shù),直線l與圓恒相交;
(2)根據(jù)題意,設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A、B,M(3,4),
由(1)的結(jié)論和直線l過定點(diǎn)M(3,4)且與過此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí),l被圓所截的弦長(zhǎng)|AB|最短,
此時(shí)圓心到直線的距離為,
所以,即最短弦長(zhǎng)為.
又KCM==1,則直線l的斜率k=﹣1,
則直線l的方程為y﹣4=﹣(x﹣3),即x+y=7.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】命題p:α∈R,sin(π﹣α)=cosα;命題q:“0<a<4”是“關(guān)于x的不等式ax2+ax+1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的充分必要條件,則下面結(jié)論正確的是( )
A.p是假命題
B.q是真命題
C.“p∧q”是假命題
D.“p∨q”是假命題
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【題目】運(yùn)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果是( )
A.e2016﹣e2015
B.e2017﹣e2016
C.e2015﹣1
D.e2016﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形的中心為直線和直線的交點(diǎn),其一邊所在直線方程為
(1)寫出正方形的中心坐標(biāo);
(2)求其它三邊所在直線的方程(寫出一般式).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費(fèi)站從7座以下小型汽車中按進(jìn)收費(fèi)站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進(jìn)行抽樣調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲?/span>)分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調(diào)查公司在抽樣時(shí)用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA,sinA的值;
(2)若cosB+cosC= ,求cosC+ sinC的值.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))
(1)以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位)建立極坐標(biāo)系,若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4, ),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),利用曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差.
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))
(1)以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位)建立極坐標(biāo)系,若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4, ),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),利用曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差.
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【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2| ,,則橢圓離心率的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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