已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng).求|z|.
分析:本題考查的復(fù)數(shù)的基本概念及等比數(shù)列的性質(zhì),由復(fù)數(shù)z的輻角為60°,我們可以使用待定系數(shù)法設(shè)出復(fù)數(shù)Z,然后根據(jù)|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng),結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)造方程,解方程求出待定的系數(shù),即可得到Z值,進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模.
解答:解:設(shè)z=(rcos60°+rsin60°),
則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為
.
z-=r,z=r2由題設(shè)|z-1|
2=|z|•|z-2|,
即:(z-1)(
-1)=|z|
∴r
2-r+1=r
,
整理得r
2+2r-1=0.
解得r=
-1,
r=-
-1(舍去).
即|z|=
-1.
點(diǎn)評:解決復(fù)數(shù)問題時(shí),我們多使用待定系數(shù)法,即設(shè)出復(fù)數(shù)的值,然后根據(jù)題目中的其它條件,列出方程,解方程求出系數(shù),即可得到未知復(fù)數(shù)的值.