Question

17．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=2外一點(diǎn)P（2，-1），過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，其中A，B是切點(diǎn)．
（1）求PA，PB所在的直線方程；
（2）求|PA|，|PB|的值；
（3）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出切線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求出斜率，則PA，PB所在的直線方程可求；
（2）求出|PC|，再由勾股定理求|PA|，|PB|的值；
（3）分別聯(lián)立直線方程與圓的方程，求得A，B的坐標(biāo)，代入直線方程的兩點(diǎn)式得答案．

解答 解：（1）由圓心C（1，2），點(diǎn)P（2，-1）及半徑r=$\sqrt{2}$知，切線斜率一定存在．
設(shè)切線方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
∵圓心到切線的距離等于半徑．
∴$\frac{|k-2-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
即k²-6k-7=0．解得k=-1或k=7．
故切線方程為x+y-1=0或7x-y-15=0，
即PA，PB所在的直線方程分別為x+y-1=0，7x-y-15=0；
（2）∵|PC|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-1-2）^{2}}=\sqrt{10}$，
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，∴A（0，1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{7x-y-15=0}\\{（x-1）^{2}+（y-2）^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，∴B（$\frac{12}{5}，\frac{9}{5}$），
故直線AB的方程為$\frac{y-1}{\frac{9}{5}-1}$=$\frac{x-0}{\frac{12}{5}-0}$，即x-3y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，是中檔題．