Question

17．已知函數f（x）=x²+ax-lnx+1（a∈R），g（x）=x²-1
（Ⅰ）當a=-1時，求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設函數m（x）=f（x）-g（x），當x∈（0，e²]時，是否存在實數a，使得函數y=m（x）的最小值為4？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求出導函數，利用導函數的正負判斷函數的單調性；
（Ⅱ）求出m（x）=ax-lnx+2，假設存在實數a，使得函數y=m（x）的最小值為4，利用導函數，分別討論參數a，求出函數的最小值判斷是否滿足題意，得出a的值．

解答 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²-x-lnx+1，
f'（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1），}{x}$，
當x＞1時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），單調減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）m（x）=f（x）-g（x）
=x²+ax-lnx+1-x²+1
=ax-lnx+2，
假設存在實數a，使得函數y=m（x）的最小值為4，
m'（x）=$\frac{ax-1}{x}$，
當a=0時，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
當a＜0時，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
當a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$時，m'（x）＞0，m（x）遞增，
∴函數的最小值為m（$\frac{1}{a}$）=1+lna+2=4，解得a=e滿足題意，
綜上可知存在實數a=e，使得函數y=m（x）的最小值為4．

點評 考查了利用導函數判斷函數的單調性和求函數的最值，難點是對參數a 的分類討論．