12.已知橢圓M:$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1(c>0)的離心率為e,右焦點(diǎn)為(c,0).
(1)若橢圓M的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=4$\sqrt{3}$e,P為M上一點(diǎn),求|PF1|+|PF2|的值.
(2)如圖所示,A是橢圓M上一點(diǎn),且A在第二象限,A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),C在x軸上,且AC與x軸垂直,若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-4,△ABC的面積為4,直線BC與M交于另一點(diǎn)D,求線段BD的中點(diǎn)坐標(biāo).

分析 (1)由橢圓方程可得a=$\sqrt{2}$c,b=c,求得離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,由|F1F2|=4$\sqrt{3}$e,可得c=$\sqrt{6}$,即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$,再由橢圓的定義,即可得到所求值;
(2)設(shè)A(x1,y1)(x1<0,y1>0),B(-x1,-y1),C(x1,0),求得向量CA,CB的坐標(biāo),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,解得y1,再由三角形的面積公式,求得x1,可得A的坐標(biāo),代入橢圓方程,進(jìn)而得到橢圓方程,再由直線BC的方程聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,計(jì)算即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).

解答 解:(1)橢圓M:$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1的a=$\sqrt{2}$c,b=c,
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
由|F1F2|=4$\sqrt{3}$e=2$\sqrt{6}$,即2c=2$\sqrt{6}$,
可得c=$\sqrt{6}$,即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$,
由橢圓的定義可得,|PF1|+|PF2|=2a=4$\sqrt{3}$;
(2)設(shè)A(x1,y1)(x1<0,y1>0),B(-x1,-y1),C(x1,0),
$\overrightarrow{CA}$=(0,y1),$\overrightarrow{CB}$=(-2x1,-y1),$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-y12=-4,
可得y1=2,
又S△ABC=$\frac{1}{2}$|y1|•|2x1|=4,解得x1=-2,即A(-2,2),
由A在M上,即有$\frac{4}{2{c}^{2}}$+$\frac{4}{{c}^{2}}$=1,解得c=$\sqrt{6}$,
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1,
B(2,-2),C(-2,0),
BC:y=-$\frac{1}{2}$(x+2),與M方程聯(lián)立,可得3x2+4x-20=0,
即有xB+xD=-$\frac{4}{3}$,設(shè)中點(diǎn)為N(x,y),
則x=$\frac{{x}_{B}+{x}_{D}}{2}$=-$\frac{2}{3}$,y=-$\frac{1}{2}$×(-$\frac{2}{3}$+2)=-$\frac{2}{3}$,
即有N(-$\frac{2}{3}$,-$\frac{2}{3}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線l:y=kx+m(m≠0)與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),試問(wèn)參數(shù)k和m滿(mǎn)足什么條件時(shí),直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列;
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