Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=2C，c=2，a²=4b-4，則a=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意和正弦、余弦定理列出方程并化簡(jiǎn)，再結(jié)合條件中的方程求出a、b，利用大邊對(duì)大角求出a的值．

解答 解：在△ABC中，∵A=2C，c=2，∴由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
則$\frac{a}{2sinCcosC}=\frac{2}{sinC}$，即a=4cosC，
由余弦定理得，a=4×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2×$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{ab}$，
化簡(jiǎn)得a²（b-2）=2（b²-4），①
又a²=4b-4，②，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∵A=2C，c=2，∴a＞c=2，∴a=$2\sqrt{3}$，
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，以及方程思想，注意邊角關(guān)系的應(yīng)用，于中檔題．