Question

17．設(shè)雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)A，B，若|AF₁|：|AB|=3：4，且F₂是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義得到三角形F₁AB是直角三角形，根據(jù)勾股定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)|AB|=4x，則|AF₁|=3x，|AF₂|=x，
∵|AF₁|-|AF₂|=2a，∴x=a，
∴|AB|=4a，|BF₁|=5a，
∴滿足|AF₁|²+|AB|²=|BF₁|²，
則∠F₁AB=90°，
則|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即9a²+a²=4c²，
即10a²=4c²，
得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的求解，根據(jù)條件結(jié)合雙曲線的定義判斷三角形F₁AB是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．