Question

已知二項(xiàng)式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展開式的第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比為30：1．
（1）展開式的所有有理項(xiàng)；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ；
（3）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)（結(jié)果可以有組合數(shù)、冪）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，并化簡(jiǎn)，由條件，列方程求得n=12，再化簡(jiǎn)通項(xiàng)，考慮x的指數(shù)為整數(shù)的情況，即可得到有理項(xiàng)；
（2）逆用二項(xiàng)式定理，注意添上首項(xiàng)1，即可得到所求值；
（3）根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．

解答： 解：（1）二項(xiàng)式（

x

-

2

3 x

）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

(

x

)n-r(

-2

3 x

)r（r=0，1，…，n）
=

C

r n

(-2)r•x

3n-5r

6

，
由于展開式的第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比為30：1，則

C

4 n

•24：

C

2 n

•22=30：1，
化簡(jiǎn)得，n²-5n=84=0，解得，n=12（-7舍去）．
則展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
當(dāng)r=0，6，12時(shí)為有理項(xiàng)，
即為T₁=x⁶，T₇=

C

6 12

•26•x=59136x，T₁₃=

C

12 12

•212•x-4=4096x^-4；
（2）n+6C_n²+36C_n³+…+6^n-1C_nⁿ=

C

1 12

+6C₁₂²+36C₁₂³+…+6^12-1C1212
=

1

6

（1+6

C

1 12

+6²C₁₂²+6³C₁₂³+…+6^12C₁₂12）-

1

6

=

1

6

•（1+6）¹²-

1

6

=

712-1

6

；
（3）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，
因?yàn)門_r+1=

C

r 12

(-2)r•x

36-5r

6

（r=0，1，2，…，12），
則

C r 12 2r ≥C r-1 12 2r-1 C r 12 2r ≥C r+1 12 •2r+1

即

2C r 12 ≥C r-1 12 C r 12 ≥ 2C r+1 12

即有

26-2r≥r 24-2r≤1+r

即

23

3

≤r≤

26

3

，則r=8，
則系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T₉=

C

8 12

•28•x-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理及運(yùn)用，考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式和運(yùn)用，考查有理項(xiàng)和系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)的求法，考查運(yùn)算年林，屬于中檔題．