Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，側(cè)棱AA₁=1且垂直于底面，光線沿AA₁方向投影得到的主視圖是直角梯形，E、F分別是棱BC、B₁C₁上的動點(diǎn)，且EF∥CC₁．
（1）證明：無論點(diǎn)E運(yùn)動到BC的哪個(gè)位置，四邊形EFD₁D都為矩形；
（2）當(dāng)EC=1時(shí)，求幾何體A-EFD₁D的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證明無論點(diǎn)E怎樣運(yùn)動，四邊形EFD₁D都為矩形，我們可根據(jù)已知中直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是棱BC，B₁C₁上的動點(diǎn)，且EF∥CC₁，先由線面平行的性質(zhì)定理，判斷出四邊形EFD₁D為平行四邊形，再證明其鄰邊相互垂直，進(jìn)而得到答案．
（2）連接AE，我們易根據(jù)已知條件，結(jié)合直棱柱的幾何特征和勾股定理，判斷出AE到為四棱錐的高，根據(jù)CD=DD₁=1，AB=2，BC=3及EC=1，我們計(jì)算出四棱錐底面面積的和高，代入棱錐體積公式即可得到答案．

解答： （1）證明：在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁∥CC₁，
∵EF∥CC₁，∴EF∥DD₁，
又∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
平面ABCD∩平面EFD₁D=ED，
平面A₁B₁C₁D₁∩平面EFD₁D=FD₁，
∴ED∥FD₁，∴四邊形EFD₁D為平行四邊形，
∵側(cè)棱DD₁⊥底面ABCD，又DE?平面ABCD內(nèi)，
∴DD₁⊥DE，∴四邊形EFD₁D為矩形．
（2）解：連接AE，∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴側(cè)棱DD₁⊥底面ABCD，又AE?平面ABCD內(nèi)，
∴DD₁⊥AE，
在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，則AE=2

2

，
在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，則DE=2

2

，
在直角梯形中ABCD，AD=

BC2+(AB-CD)2

，
∴AE²+DE²=AD²，即AE⊥ED，
又∵ED∩DD₁=D，∴AE⊥平面EFD₁D．
由（Ⅰ）可知，四邊形EFD₁D為矩形，且DE=

2

，DD₁=1，
∴矩形EFD₁D的面積為SEFD1D=DE•DD₁=

2

，
∴幾何體A-EFD₁D的體積為VA-EFD1D=

1

3

×

2

×2

2

=

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積公式及平面的基本性質(zhì)及推論，其中求幾何體A-EFD₁D的體積，關(guān)鍵是要找到棱錐的高，求出高和底面面積后，代入棱錐體積公式即可得到答案．