【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1， ， 邊分別在軸、軸的正半軸上， 點與坐標(biāo)原點重合，將矩形折疊，使點落在線段上，設(shè)此點為.

（1）若折痕的斜率為-1，求折痕所在的直線的方程；

（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數(shù)），試用表示點的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線的方程；

（3）當(dāng)時，求折痕長的最大值.

【答案】（1）；（2）；(3) .

【解析】試題分析：（1）若折痕的斜率為時，由于點落在線段上，可得折痕必過點，即可得出；（2）當(dāng)時，此時點與點重合，折痕所在的直線方程，當(dāng)時，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，可知與關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點坐標(biāo)即線段的中點為，即可得出；（3）當(dāng)時，折痕為2，當(dāng)時，折痕所在直線交于點，交軸于，利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

試題解析：（1）∵折痕的斜率為時， 點落在線段上

∴折痕必過點

∴直線方程為

（2）①當(dāng)時，此時點與點重合，折痕所在的直線方程.

②當(dāng)時，將矩形折疊后點落在線段上的點記為，

則與關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，即．

∴點坐標(biāo)為

從而折痕所在的直線與的交點坐標(biāo)即線段的中點為，折痕所在的直線方程，即．

綜上所述，由①②得折痕所在的直線方程為： ．

（3）當(dāng)時，折痕長為2．

當(dāng)時，折痕所在直線交于點，交軸于．

∵，

∴折痕長的最大值為.

∴綜上所述，折痕長度的最大值為

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（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率；

（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；

（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．

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