已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
sinxsin（x+
π
2
）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
2π
3
]上的取值范圍．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的圖像與性質
分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x-
π
6
）+
1
2
，可得周期T=
2π
2
=π；（Ⅱ）由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤
π
2
+2kπ解不等式可得單調遞增區(qū)間；（Ⅲ）由x∈[0，
2π
3
]可得2x-
π
6
∈[-
π
6
，
7
6
π]，進而可得sin(2x-
π
6
)∈[-
1
2
，1]，可得f(x)∈[0，
3
2
]．
解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f（x）=sin2x+
3
sinxsin（x+
π
2
）
=
1-cos2x
2
+
3
sinxcosx=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+
1
2

=sin（2x-
π
6
）+
1
2
，可得周期T=
2π
2
=π；
（Ⅱ）由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤
π
2
+2kπ得-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ，k∈z
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是[-
π
6
+kπ，
π
3
+kπ]，k∈z；
（Ⅲ）由x∈[0，
2π
3
]可得2x-
π
6
∈[-
π
6
，
7
6
π]，
∴sin(2x-
π
6
)∈[-
1
2
，1]，∴f(x)∈[0，
3
2
]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
2π
3
]上的取值范圍為[0，
3
2
]．
點評：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調性和最值，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于80km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰．如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有（　�。�
A、20輛B、40輛
C、60輛D、80輛

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

星期天，劉先生到電信局打算上網(wǎng)開戶，經(jīng)詢問，記錄了可能需要的三種方式所花費的費用資料，現(xiàn)將資料整理如下：
①163普通：上網(wǎng)資費2元/小時；
②163A：每月50元（可上網(wǎng)50小時），超過50小時的部分資費2元/小時；
③ADSLD：每月70元，時長不限（其他因素忽略不計）．
請你用所學的函數(shù)知識對上網(wǎng)方式與費用問題作出研究：
（1）分別寫出三種上網(wǎng)方式中所用資費與時間的函數(shù)解析式；
（2）在同一坐標系內(nèi)分別畫出三種方式所需資費與時間的函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)你的研究，請給劉先生一個合理化的建議．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+，a+b+c=
3
，求證：a2+b2+c2≥1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.24，0.27，0.19，0.15，計算這個射手在一次射擊中，
（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；
（2）至少射中7環(huán)的概率；
（3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下表數(shù)據(jù)是水溫度x（℃）對黃酮延長性y（%）效應的試驗結果，y是以延長度計算的，且對于給定的x，y為變量．
x（℃）300400500600700800
y（%）405055606770
（Ⅰ）求y關于x的回歸方程；
（Ⅱ）估計水溫度是1000℃時，黃酮延長性的情況．
（可能用到的公式：
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
•
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
?
a
=
.
y
-
?
b
.
x
，其中
?
a
、
?
b
是對回歸直線方程
?
y
=a+bx中系數(shù)a、b按最小二乘法求得的估計值）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinθ-cosθ=
1
3
，則cos（
π
2
-2θ）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=lg（-x2+4x-3）的定義域為M，求函數(shù)f（x）=4x-2x+3+4（x∈M）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），對定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）+f（-x）=0，當x＜-1時，f（x）=
1+ln(-x-1)
x+a
（a為常數(shù)），且x=2是函數(shù)f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）若x≥2時，f（x）≥
m
x
，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求證：n-2（
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
）＜ln（n+1）．

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