Question

已知函數y=|cosx+sinx|．
（1）畫出函數在x∈[-

π

4

，

7π

4

]上的簡圖；
（2）寫出函數的最小正周期和在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調遞增區(qū)間；試問：當x在R上取何值時，函數有最大值？最大值是多少？
（3）若x是△ABC的一個內角，且y²=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,三角形的形狀判斷

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數進行化簡即可畫出函數在x∈[-

π

4

，

7π

4

]上的簡圖；
（2）根據函數圖象即可寫出函數的最小正周期和在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調遞增區(qū)間，并求出最值．
（3）求出x的大小即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）∵y=|cosx+sinx|=

2

|sin（x+

π

4

）|，
∴當x∈[-

π

4

，

7π

4

]時，其圖象如圖所示．

（2）函數的最小正周期是π，在[-

π

4

，

3π

4

]上的單調遞增區(qū)間是[-

π

4

，

π

4

]；由圖象可以看出，
當x=kπ+

π

4

（k∈Z）時，該函數有最大值，最大值是

2

．
（3）若x是△ABC的一個內角，則有0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π．
由y²=1得|cosx+sinx|²=1．
即1+sin2x=1，即sin2x=0，
則2x=π，解得x=

π

2

，
即△ABC為直角三角形．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握三角函數的圖象，單調性，最值性質的求解和應用．