Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^|x|+|x-a|是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)列式求得a的值，然后求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值及f（1），利用直線方程的點(diǎn)斜式求得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，把不等式f（x）≥x轉(zhuǎn)化為e^x≥0成立，此式顯然成立；當(dāng)x＜0時，把不等式f（x）≥x轉(zhuǎn)化為e^-x≥2x成立，此式在x＜0時顯然成立，從而得到原不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^|x|+|x-a|是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即e^|-x|+|-x-a|=e^|x|+|x-a|，
∴|x+a|=|x-a|，則a=0，
故f（x）=e^|x|+|x|，f（1）=e+1，
當(dāng)x＞0時，f（x）=e^x+x，得f′（x）=e^x+1，
∴f′（1）=e+1．
從而曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率k=e+1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-（e+1）=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，e^x≥1恒成立，從而原不等式f（x）≥x，即e^x≥0成立，
此時不等式的解集為{x|x≥0}；
當(dāng)x＜0時，原不等式f（x）≥x即為e^-x≥2x，
而x＜0時，e^|x|=e^-x＞1，2x＜0，故此時e^-x≥2x恒成立，即此時不等式的解集為{x|x＜0}，
∴原不等式的解集為R．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．