Question

7．如圖ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點(diǎn)，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR（如圖所示），設(shè)∠PAB=θ．
（Ⅰ）用含有θ的式子表示矩形PQCR的面積S；
（Ⅱ）求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出AM和PM的值，進(jìn)而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．
（Ⅱ）設(shè)sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，代入S化簡(jiǎn)得 S=$\frac{8100}{2}（t-\frac{10}{9}）^{2}+950$，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由于∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，
知AM=90cosθ，PM=90sinθ，
RP=RM-PM=100-90sinθ，
PQ=MB=100-90cosθ，
S=PQ•PR=（100-90sinθ ）（100-90cosθ ）
=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ．
∴S=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；
（Ⅱ）設(shè)sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．      
即t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），0≤θ≤$\frac{π}{2}$，1≤t≤$\sqrt{2}$，
代入S化簡(jiǎn)得 S=$\frac{8100}{2}（t-\frac{10}{9}）^{2}+950$．
故當(dāng)t=$\frac{10}{9}$時(shí)，S_min=950（m²）；
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，S_max=14050-9000$\sqrt{2}$（m²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，以及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題．