Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（-1，

2

2

），且離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知過點M（1，0）的直線l與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線x=2上是否存在點P，使得△ABP是正三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（-1，

2

2

），且離心率e=

2

2

，建立a，b，c的方程求解即可；
（Ⅱ）問是否存在的問題在圓錐曲線中就先假設(shè)存在，并把直線方程與橢圓方程進(jìn)行連聯(lián)立，利用設(shè)而不求整體代換進(jìn)行求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點Q（-1，

2

2

），且離心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，

1

a2

+

1 2

b2

=1…（2分）
解得a=

2

，b=1…（4分）
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為0或不存在時，不存在符合題意的點P；…（6分）
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為x=1+my（m≠0）
代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+2my-1=0
設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2m

m2+2

，y₁y₂=-

1

m2+2

，
設(shè)存在符合題意的點P（2，t）（t≠0），
則|AB|=

1+m2

|y₁-y₂|=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 (m2+1)

m2+2

…（8分）
設(shè)線段AB的中點M（x₃，y₃），則y₃=-

m

m2+2

，
∴x₃=1+my₃=

2

m2+2

∵△ABP是正三角形，
∴AB⊥PM且|PM|=

3

2

|AB|…（9分）
由AB⊥PM得k_AB•k_PM=-1，∴y_P-y₃=-m（x_P-x₃）
∴|PM|=

1+m2

•|2-

2

m2+2

|…（10分）
由|PM|=

3

2

|AB|得

1+m2

•|2-

2

m2+2

|=

3

2

•

2 2 (m2+1)

m2+2

，
解得m=±

2

2

…（12分）
由y_P-y₃=-m（x_P-x₃）得t-（-

m

m2+2

）=-m•

2(m2+1)

m2+2

∴t=-

m(2m2+3)

m2+2

=±

4 2

5

∴存在符合題意的點P（2，±

4 2

5

）…（13分）

點評：本題考查利用方程的思想由題意列出變量a，b的兩個方程，然后求解曲線的軌跡方程；考查把直線方程與圓錐曲線方程進(jìn)行聯(lián)立設(shè)而不求整體代換的思想，還有對于圓錐曲線中是否存在利用假設(shè)的解題方法．