Question

已知實(shí)數(shù)x，y，z，給出下列命題：
①若x＞1，y＞1，且lnx，1，4lny成等比數(shù)列，則xy有最小值e；
②若x，y，z為正實(shí)數(shù)，且滿足x²+y²+z²=1，則

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

的最小值為9；
③若x和y為正數(shù)，a=x+y，b=

x2+xy+y2

，c=2

xy

，則a、b、c可作三角形的三邊；
④若關(guān)于x方程

|x|

x+4

=kx²有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k∈（1，+∞）．
其中正確命題的序號(hào)為：

 

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：必須對(duì)選項(xiàng)一一加以判斷，①運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式的知識(shí)來(lái)判斷；②運(yùn)用基本不等式的知識(shí)來(lái)判斷；③由三角形的任意兩邊之和大于第三邊來(lái)判斷；④對(duì)x討論，分x=0，x＞0，x＜0，去絕對(duì)值并結(jié)合圖象即可判斷．

解答： 解：①若x＞1，y＞1，且lnx，1，4lny成等比數(shù)列，則lnx＞0，lny＞0，4lnx•lny=1，故lnx+lny≥2

lnx•lny

=2×

1

2

=1，即ln（xy）≥1，xy≥e，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

e

，取最小值e，故①正確；
②若x，y，z為正實(shí)數(shù)，且滿足x²+y²+z²=1，則

1

x2

+

1

y2

+

1

z2

=

x2+y2+z2

x2

+

x2+y2+z2

y2

+

x2+y2+z2

z2

=3+（

y2

x2

+

x2

y2

）+（

z2

x2

+

x2

z2

）+（

z2

y2

+

y2

z2

）≥3+2+2+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，取最小值9．故②正確；
③若x和y為正數(shù)，a=x+y，b=

x2+xy+y2

，c=2

xy

，則a＞0，b＞0，c＞0，a≥c，a＞b，則a+b＞c，a+c＞b，又（b+c）²=b²+c²+2bc=x²+y²+5xy+2bc＞a²，即b+c＞a，故a、b、c可作三角形的三邊，故③正確；
④關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx²，當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立，
由于有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則還有3個(gè)非零解，
當(dāng)x＞0時(shí)，方程可化為x（x+4）=

1

k

，
當(dāng)x＜0時(shí)，方程可化為-x（x+4）=

1

k

，
畫出函數(shù)y=|x|（x+4）（x≠0且x≠-4）的圖象，
畫出y=

1

k

的圖象，將其平移觀察有三個(gè)交點(diǎn)的情況得，
0＜

1

k

＜4，即k＞

1

4

．故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體考查等比數(shù)列的性質(zhì)和基本不等式的運(yùn)用求最值，注意等號(hào)成立的條件，考查不等式的基本性質(zhì)，同時(shí)還考查方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于綜合題．