Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．若ABCD是平行四邊形．
（1）求證：MN∥平面平面PAD；
（2）若點(diǎn)Q是PB上點(diǎn)，PA∥平面QMN，求證Q是PB中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE，利用三角形的中位線定理可得NE∥PD，進(jìn)而得到NE∥平面PAD．由M是線段AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形AMED是平行四邊形，可得ME∥平面PAD．進(jìn)而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性質(zhì)可得MN∥平面PAD．
（2）由PA∥平面QMN，可證PA∥QM，又M為AB的中點(diǎn)，即可證明Q為PB的中點(diǎn)．

解答 證明：（1）取CD的中點(diǎn)E，連接ME，NE．
由N是線段CP的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是線段AB的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形AMED是平行四邊形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，
∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵點(diǎn)Q是PB上點(diǎn)，PA∥平面QMN，
∵PA?平面PAB，平面PAB∩平面QMN=QM，
∴PA∥QM，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴Q為PB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面與面面平行的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．