Question

17．求函數(shù)y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]的值域．

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由 x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，可得t的范圍，根據(jù)函數(shù)y=$\frac{{（t+1）}^{2}}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．

解答 解：函數(shù)y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1，
令sinx+cosx=t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由 x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{12}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]．
∴函數(shù)y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t+1=$\frac{{（t+1）}^{2}}{2}$，∴當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時，函數(shù)y取得最大值為 $\frac{5}{4}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查三角代換、二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．