Question

已知圓C過點(diǎn)Q（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關(guān)于直線2x+y+2=0對稱．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PABC面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)圓C與圓M關(guān)于直線2x+y+2=0對稱，確定圓C的圓心C的坐標(biāo)，又因?yàn)閳AC過點(diǎn)（1，1），即可得到圓C的方程．
（2）四邊形PABC的面積即為三角形PAC面積的2倍．故當(dāng)切線長|PA|最小時(shí)，面積取最小值．利用點(diǎn)到直線的距離公式求出|PC|的最小值，進(jìn)而求出|PA|的最小值以及四邊形面積的最小值..

解答： 解：（1）∵圓C與圓M關(guān)于直線2x+y+2=0對稱
∴圓心C與圓心M關(guān)于直線2x+y+2=0對稱
∵圓M的圓心M（-2，-2）
設(shè)C（x，y），則

y+2 x+2 •(-2)=1 2• x-2 2 + y-2 2 +2=0

解得，x=

6

5

，y=-

2

5

∴圓C的圓心C（

6

5

，-

2

5

）．
設(shè)圓C的方程為
(x-

6

5

)2+(y+

2

5

)2=r2
圓C過點(diǎn)Q（1，1），
∴(1-

6

5

)2+(1+

2

5

)2=r2
∴r=

2

∴(x-

6

5

)2+(y+

2

5

)2=2．
（2）由題知，
S_{四邊形PABC}=S_△PAC+S_△PBC
∵△PAC≌△PBC
∴S四邊形PABC=|PA|•|AC|=

2

|PA|
∴當(dāng)切線|PA|最短時(shí)，四邊形面積最小
∵|PA|=

|PC|2-r2

=

|PC|2-2

|PC|的最小值為圓心C到直線的距離
d=

| 18 5 - 8 5 +8|

32+42

=2
∴|PA|min=

d2-2

=

4-2

=

2

∴四邊形PABC的最小面積
S=

2

•

2

=2
故：四邊形PABC面積的最小值為2．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．