Question

18．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$與雙曲線C₂的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C₁，C₂在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF₁BF₂為矩形，則雙曲線C₂的漸近線方程是（　�。�

• A． $y=±\sqrt{2}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x

Answer 1

分析 由題意可知：AF₁|+|AF₂|=2a=4，丨AF₁丨²+丨AF₂丨²=丨F₁F₂丨²，則丨AF₁丨=2-$\sqrt{2}$，丨AF₂丨=2+$\sqrt{2}$，由雙曲線的定義可知：2a′=|AF₂|-|AF₁|，c′=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，則雙曲線C₂的漸近線方程y=±$\frac{a}$x．

解答 解：設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點(diǎn)A為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的點(diǎn)，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴丨AF₁丨²+丨AF₂丨²=丨F₁F₂丨²，即x²+y²=（2c）²=12，②
由①②得 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
解得：x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$，
設(shè)雙曲線C₂的實(shí)軸長(zhǎng)為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，
2c′=2$\sqrt{3}$，則c=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1，
雙曲線C₂的漸近線方程y=±$\frac{a}$x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．