Question

在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，則AD的長(zhǎng)度的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、2

  3

  -3
• C、3

  3

  -2

  6

• D、

  3 -1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：在圖（2）中連接DP，由折疊可知AD=PD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP為三角形ADP的外角，若設(shè)∠BAP為θ，則有∠BDP為2θ，再設(shè)AD=PD=x，根據(jù)正弦定理建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而得出x的最小值，即為AD的最小值．

解答：解：顯然A，P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱，
連接DP，圖（2）中，可得AD=PD，則有∠BAP=∠APD，
設(shè)∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再設(shè)AD=DP=x，則有DB=10-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知

BD

sinBPD

=

DP

sinDBP

，
即

1-x

sin(120°-2θ)

=

x

sin60°

∴x=

3

2sin(120°-2θ)+ 3

，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴當(dāng)120°-2θ=90°，即θ=15°時(shí)，sin（120°-2θ）=1．
此時(shí)x取得最小值

3

2+ 3

=

3

•(2-

3

)=2

3

-3，且∠ADE=75°．
則AD的最小值為2

3

-3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．