Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（a∈R），若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=-$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，（x＞0）
依題意f'（x）≥0在x＞0時恒成立，
即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
則a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1在x＞0恒成立，
即a≤（（$\frac{1}{x}$-1）²-1）_min（x＞0）
當x=1時，（$\frac{1}{x}$-1）²-1取最小值-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，屬于中檔題．