Question

8．若函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值是16．

Answer 1

分析 由題意得f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得到f（x）的最大值

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
即[1-（-3）²][（-3）²+a•（-3）+b]=0且[1-（-5）²][（-5）²+a•（-5）+b]=0，
解之得a=8，b=15，
因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15，
求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=-4x³-24x²-28x+8=$-4（x+2）（x+2+\sqrt{5}）（x+2-\sqrt{5}）$
當(dāng)x∈（-∞，$-2-\sqrt{5}$）∪（-2，$-2+\sqrt{5}$）時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（-2-$\sqrt{5}$，-2）∪（$-2+\sqrt{5}$，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，$-2-\sqrt{5}$）單調(diào)遞增，在（$-2-\sqrt{5}$，-2）單調(diào)遞減，在（-2，-2$+\sqrt{5}$）單調(diào)遞增，在（-2$+\sqrt{5}$，+∞）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=-2$-\sqrt{5}$和x=$-2+\sqrt{5}$時(shí)取極大值，
$f（-2-\sqrt{5}）$=$f（-2+\sqrt{5}）$=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題給出多項(xiàng)式函數(shù)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱，求函數(shù)的最大值．著重考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．