Question

4．設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）定義域為R，且f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，求證：f（x）為周期函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，可得f（x）∈[0，1]，當(dāng)f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$）時，可得f（x+4a）=f（x）；當(dāng)f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]時，可得f（x+4a）=f（x）；進而根據(jù)周期性的定義得到結(jié)論．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x）-[f（x）]^{2}}$，
∴f（x）-[f（x）]²≥0，即f（x）∈[0，1]，
若f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$），則
∴f（x+2a）=f[（x+a）+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+a）-{[f（x+a）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f（x）]}^{2}-f（x）+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$-f（x）+$\frac{1}{2}$=1-f（x），
∴f（x+4a）=1-f（x+2a）=1-（1-f（x））=f（x），
故f（x）是以4a為周期的周期函數(shù)；
若f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x+2a）=f[（x+a）+a]=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{f（x+a）-{[f（x+a）]}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]-[\frac{1}{2}+\sqrt{f（x）-{[f（x）]}^{2}}]^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{[f（x）]}^{2}-f（x）+\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$+f（x）-$\frac{1}{2}$=f（x），
故f（x）是以2a為周期的周期函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，熟練掌握函數(shù)周期性的定義，是解答的關(guān)鍵．