Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n＋a_n＝2n＋1.

       （1）寫出a₁, a₂, a₃,并推測a_n的表達式；

       （2）用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論.

Answer 1

       解：(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,  猜測 a_n＝2－  

       (2) ①由（1）已得當n＝1時，命題成立； 

       ②假設(shè)n＝k時,命題成立，即 a_k＝2－, 

      當n＝k＋1時, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,

      且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

      ∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

        ∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,                 

      即當n＝k＋1時,命題成立. 根據(jù)①②得n∈N⁺ , a_n＝2－都成立。