Question

9．設(shè)關(guān)于某產(chǎn)品的明星代言費x（百萬元）和其銷售額y（百萬元），有如表所示的統(tǒng)計表格．

i	1	2	3	4	5	合計
xi（百萬元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百萬元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百萬元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00

$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$w_iy_i=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）²=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（w_i-$\overline{w}$）²=10.14
表中w_i=x_i³（i=1，2，3，4，5）（以下計算過程中的數(shù)據(jù)統(tǒng)一保留到小數(shù)點后第2位）．
（1）在坐標(biāo)系中，做出銷售額y關(guān)于明星代言費x的回歸類方程的散點圖；
（2）根據(jù)散點圖指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一個更適合作銷售額y關(guān)于明星代言費x的回歸類方程（不需要說明理由）；
（3）①已知這種產(chǎn)品的純收益z（百萬元）與x、y有如下關(guān)系：z=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），試寫出z=f（x）的函數(shù)關(guān)系式；
②試估計當(dāng)x取何值時，純收益z取最大值？
附：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\overline{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{u}\overline{v}}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\overline{α}$=$\overline{v}$-$\overline{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）把所給的五組數(shù)據(jù)作為五個點的坐標(biāo)描到直角坐標(biāo)系中，得到散點圖，
（2）根據(jù)散點圖，y=c+dx³，適合銷售額y關(guān)于明星代言費x的回歸方程，
（3）①令ω=x³，則y=c+dω，是y關(guān)于ω的線性回歸方程，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程，$\overline{y}$=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得純收益z取最大值．

解答 解：（1）散點圖如下：

（2）根據(jù)散點圖可知，y=c+dx³，適合銷售額y關(guān)于明星代言費x的回歸方程，
（3）①令ω=x³，則y=c+dω，是y關(guān)于ω的線性回歸方程，
所以$\stackrel{^}j007ian$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{ω}_{i}{y}_{i}-5\overline{ω}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$≈1.21，$\stackrel{^}{c}$=$\overline{y}$-$\stackrel{^}gh8wpff$•$\overline{ω}$≈1.15，
∴線性回歸方程：$\overline{y}$=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³，
z=f（x）=0.2y-0.726x，
=0.2（1.15+1.21x³）-0.726x，
=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，
②令z′=0.726x²-0.726≥0，x≥1.00，
故z=f（x）在區(qū)間[1.00，2.00]內(nèi)單調(diào)遞增，
所以估計當(dāng)明星的代言費為x=2.00百萬時，純收益z取最大值．

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，屬于中檔題．