Question

在△ABC，下列選項(xiàng)不一定能得出△ABC為直角三角形的是（　　）

• A．|

  CA

  +

  CB

  |=|

  CA

  -

  CB

  |
• B．sin（B+C）+sin（A+C）=0，
• C．

  BA

  ?

  BC

  = 

  BC

  2
• D．

  CA

  ? 

  BC

  =2S_A?cosC，（其中S_A表示△ABC的面積）

Answer 1

分析：A、利用平面向量平行四邊形法則化簡(jiǎn)已知等式的左右兩邊，得到|

CD

|=|

BA

|，故四邊形ABDC為矩形，故∠ACB為直角，即三角形為直角三角形，本選項(xiàng)不合題意；
B、把已知等式的左邊兩項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，再利用和差化積公式變形后，根據(jù)A和B為三角形的內(nèi)角，得到等號(hào)左邊不可能為0，故不能判斷出三角形為直角三角形；
C、把已知等式的左邊利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，右邊根據(jù)模的計(jì)算公式化簡(jiǎn)，然后左右兩邊同時(shí)除以|

BC

|，表示出cosB，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義得出角C為直角，即三角形ABC為直角三角形，本選項(xiàng)不合題意；
D、把已知等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，右邊利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)，整理后得到sinC的值為1，由C為三角形的內(nèi)角，得到C為直角，即三角形為直角三角形，本選項(xiàng)不合題意．

解答：解：A、根據(jù)題意畫出圖形，

∴|

CA

+

CB

|=|

CD

|，|

CA

-

CB

|=|

BA

|，
又|

CA

+

BC

|=|

CA

-

CB

|，即|

CD

|=|

BA

|，
∴四邊形ABCD為矩形，
∴∠ACB=90°，即△ABC為直角三角形，
故本選項(xiàng)不合題意；
B、∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
且sin（B+C）+sin（A+C）=0，
∴sinA+sinB=0，即2sin

A+B

2

cos

A-B

2

=0，
故此選項(xiàng)不一定能得出△ABC為直角三角形；
C、

BA

•

BC

=

BC

2變?yōu)闉椋簗

BA

|•|

BC

|cosB=|

BC

|²，
∴|

BA

|•cosB=|

BC

|，即cosB=

| BC |

| BA |

，
∴∠C=90°，即△ABC為直角三角形，
故本選項(xiàng)不合題意；
D、∵

CA

•

BC

=|

CA

|•|

BC

|cos（180°-C）=-|

CA

|•|

BC

|cosC，
S_A=

1

2

|

CA

|•|

BC

|sinC，且

CA

•

BC

=2S_A•cosC，
∴sinC=1，又C為三角形的內(nèi)角，
∴∠C=90°，即△ABC為直角三角形，
故本選項(xiàng)不合題意，
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式，以及積化和差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．