Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知PA=AB=2，AD=2

2

，求
（1）△PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)定理，可得CD⊥PD，運(yùn)用勾股定理求出PD，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到；
（2）連接AC，DE．由AD∥BC，則有∠DAE即為異面直線BC和AE所成的角．分別求得AE，DE，判斷△ADE為等腰直角三角形，即可得到∠DAE．

解答： 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
則PA⊥CD，
由于底面ABCD是矩形，
即有AD⊥CD，
則CD⊥平面PAD，
即有CD⊥PD，
由PA=2，AD=2

2

，PA⊥AD，
由勾股定理可得PD=

PA2+AD2

=2

3

．
則有S△PCD=

1

2

CD•PD=2

3

；
（2）連接AC，DE．
由AD∥BC，則∠DAE即為異面直線BC和AE所成的角．
在直角三角形PCD中，DE=

1

2

PC，
在直角三角形PAC中，AE=

1

2

PC，
由于AC=

AB2+AD2

=

4+8

=2

3

，
則PC=

PA2+AC2

=

4+12

=4，
在三角形ADE中，AD=2

2

，AE=DE=2，
即有AD²=AE²+DE²．
則有∠DAE=45°．
即有異面直線BC與AE所成角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直的判定和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查空間異面直線所成角的求法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．