Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{4}{3}，{a_{n+1}}-1={a_n}（{a_n}-1），n∈{N^*}$且S_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$，則S_n的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是{0，1，2}．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．可得：a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，可得：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．可得a₂=$\frac{13}{9}$，a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$，$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1．另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，可得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$）=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，對(duì)n=1，2，3，n≥4，分類討論即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*）．
可得：a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，∴a_n+1＞a_n，因此數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
則a₂-1=$\frac{4}{3}$，可得a₂=$\frac{13}{9}$，同理可得：a₃=$\frac{133}{81}$，a₄=$\frac{13477}{6561}$．$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{81}{52}$＞1，
$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{6561}{6916}$＜1，
另一方面：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，其整數(shù)部分為0；
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$=1+$\frac{23}{52}$，其整數(shù)部分為1；
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$+$\frac{81}{133}$=2+$\frac{355}{6561}$，其整數(shù)部分為2；
當(dāng)n≥4時(shí)，S_n=2+1-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$∈（2，3），其整數(shù)部分為2．
綜上可得：S_n的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是{0，1，2}．
故答案為：{0，1，2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．