【題目】如圖1，在等腰梯形中，兩腰，底邊，，，是的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).分別沿，將四邊形和折起，使，重合于點(diǎn)，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，，分別為，的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

(1)先證，再證，由可得平面 ，從而推出平面 ；(2) 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與，坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.

（1）證明：連接，，由圖1知，四邊形為菱形，且，

所以是正三角形，從而.

同理可證，，

所以平面.

又，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

易知，且為的中點(diǎn)，所以，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，，且四邊形為正方形.設(shè)的中點(diǎn)為，

以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

由得

取.

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】去年年底，某商業(yè)集團(tuán)公司根據(jù)相關(guān)評(píng)分細(xì)則，對(duì)其所屬25家商業(yè)連鎖店進(jìn)行了考核評(píng)估.將各連鎖店的評(píng)估分?jǐn)?shù)按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示，集團(tuán)公司依據(jù)評(píng)估得分，將這些連鎖店劃分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí)，等級(jí)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如下表所示.

評(píng)估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100)

評(píng)定等級(jí)

D

C

B

A

（1）估計(jì)該商業(yè)集團(tuán)各連鎖店評(píng)估得分的眾數(shù)和平均數(shù)；

（2）從評(píng)估分?jǐn)?shù)不小于80分的連鎖店中任選2家介紹營(yíng)銷經(jīng)驗(yàn)，求至少選一家A等級(jí)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中a，．

Ⅰ求的極大值；

Ⅱ設(shè)，，若對(duì)任意的，恒成立，求a的最大值；

Ⅲ設(shè)，若對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）設(shè)定義在上的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，過點(diǎn)，的直線傾斜角為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)且斜率為的直線，使直線交橢圓于兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一塊半圓形的空地，直徑米，政府計(jì)劃在空地上建一個(gè)形狀為等腰梯形的花圃，如圖所示，其中為圓心，，在半圓上，其余為綠化部分，設(shè).

（1）記花圃的面積為，求的最大值；

（2）若花圃的造價(jià)為10元/米，在花圃的邊、處鋪設(shè)具有美化效果的灌溉管道，鋪設(shè)費(fèi)用為500元/米，兩腰、不鋪設(shè)，求滿足什么條件時(shí)，會(huì)使總造價(jià)最大.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).

①實(shí)數(shù)的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年底，北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募，僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語水平測(cè)試，所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:

(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>80分以上的女生人數(shù);

(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等腰直角中，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).現(xiàn)沿邊折起成如圖四棱錐，為中點(diǎn).

（1）證明：面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的平面角的余弦值.

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