Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1²=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n，n∈N⁺．求證：a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

分析 由已知可得：a_n≥0．利用數(shù)學(xué)歸納法可證明：a_n+1＜1．利用不等式性質(zhì)即可證明：a_n＜a_n+1．

解答 證明：∵a_n+1²=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n≥0，∴a_n≥0，或a_n≤-1，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴${a}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$＜1，
∴1＞a₂＞0．
依此類推可得：a_n≥0．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n+1＜1．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{3}$＜1；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k＜1，又0≤a_k，
∴${a}_{k}^{2}$≤a_k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，${a}_{k+1}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{k}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{k}$$＜\frac{1}{2}{a}_{k}+\frac{1}{2}{a}_{k}$＜a_k＜1，
又a_k+1≥0，
∴a_k+1＜1，
綜上可得：對(duì)于?∈N^*，a_n＜1．
下面證明：a_n＜a_n+1．
∵${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n}$-${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}（1-{a}_{n}）$＞0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+1＞a_n．
綜上可得：a_n＜a_n+1＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與繼續(xù)努力，屬于難題．