Question

13．已知a，b，c是正整數(shù)，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根的絕對值均小于$\frac{1}{3}$，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析 由題意和韋達定理可得方程的兩根滿足-$\frac{1}{3}$＜x₁≤x₂＜0．令f（x）=ax²+bx+c，即有f（-$\frac{1}{3}$）＞0，且對稱軸介于
（-$\frac{1}{3}$，0），由不等式的性質(zhì)可得2a＞3b＞18c．結合前者，可得最小為a=16，b=8，c=1．即可得到最小值．

解答 解：由于a，b，c是正整數(shù)，關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個實數(shù)根，
則判別式△=b²-4ac≥0，
若方程的兩根設為x₁，x₂，且x₁≤x₂，
則由題設可得x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
則-$\frac{1}{3}$＜x₁≤x₂＜0．
令f（x）=ax²+bx+c，即有f（-$\frac{1}{3}$）＞0，
即$\frac{a}{9}$-$\frac{1}{3}$b+c＞0，且-$\frac{1}{3}$＜-$\frac{2a}$＜0．
整理可得：2a＞3b，且a+9c＞3b，且b²＞4ac
即有2a＞3b＞18c．
結合前者，可知，最小為a=16，b=8，c=1．
則a+b+c的最小值為25．

點評 本題考查二次方程實根的分布，主要考查二次函數(shù)和二次方程的關系，運用不等式的基本性質(zhì)是解題的關鍵．