Question

7．如圖，橢圓$W：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左頂點A在圓O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）直線AP與橢圓W的另一個交點為P，與圓O的另一個交點為Q．是否存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$？若存在，求出直線AP的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A在圓上，可得a=4，再由離心率公式，可得c，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）求得圓心到直線的距離，運用圓的弦長公式可得|QA|，化簡整理，即可判斷是否存在．

解答 解：（Ⅰ）因為橢圓W的左頂點A在圓O：x²+y²=16上，所以a=4．
又離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=2\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=4，所以W的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
由-4x_P=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，可得x_P=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即有|AP|=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
圓心到直線AP的距離為$d=\frac{|4k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|AQ|=2\sqrt{16-{d^2}}=2\sqrt{\frac{16}{{1+{k^2}}}}=\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
因為$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}=\frac{|AQ|}{|AP|}-1$，
代入得到$\frac{|PQ|}{|AP|}=\frac{{\frac{8}{{\sqrt{1+{k^2}}}}}}{{\frac{{8\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}}}-1=\frac{{1+4{k^2}}}{{1+{k^2}}}-1=\frac{{3{k^2}}}{{1+{k^2}}}=3-\frac{3}{{1+{k^2}}}$．
顯然$3-\frac{3}{{1+{k^2}}}≠3$，
所以不存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}=3$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查存在性問題的解法，注意運用點到直線的距離公式和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．