Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0，S₅=4a₃+6a，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

分析：（1）利用S₅=4a₃+6a，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，建立方程，可求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法，即可求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

解答：解：（1）因?yàn)镾₅=4a₃+6，所以5a₁+10d=4（a₁+2d）+6．①…（3分）
因?yàn)閍₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，所以a₁（a₁+8d）=（a₁+2d）²．②…（5分）
由①②及d≠0可得：a₁=2，d=2．…（6分）
所以a_n=2n．…（7分）
（2）由a_n=2n，可知S_n=n²+n…（9分）
所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
所以數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．