Question

16．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是曲線$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0）的兩個焦點，曲線上一點與F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長是16，曲線上的點到F₁的最小距離為2，則n=4或5．

Answer 1

分析 由橢圓的方程分類求出橢圓的半長軸長，短半軸長及半焦距，再由三角形的周長是16，曲線上的點到F₁的最小距離為2列關(guān)于m，n的方程組求得n的值．

解答 解：由曲線$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0），
當(dāng)m＞n時，曲線表示焦點在x軸上的橢圓，此時a=m，2a=2m，b=n，c²=a²-b²=m²-n²，
∴$c=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$．
由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2m+2\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=16}\\{m-\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=5，n=4；
當(dāng)m＜n時，曲線表示焦點在y軸上的橢圓，此時a=n，2a=2n，b=m，c²=a²-b²=n²-m²，
∴$c=\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}$．
由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2n+2\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=16}\\{n-\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=4，n=5．
∴n的值為4或5．
故答案為：4或5．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是注意分類討論，是中檔題．