Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函數(shù)上y=x+2的圖象上，則$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=（　　）

• A． $\frac{n（n+1）}{2}$
• B． $\frac{2n}{n+1}$
• C． $\frac{2}{n（n+1）}$
• D． $\frac{n}{n+1}$

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函數(shù)上y=x+2的圖象上，求出a_n的通項(xiàng)公式，然后再求出s_n的表達(dá)式，進(jìn)而求得答案．

解答 解：∵點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在一次函數(shù)上y=x+2的圖象上，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₁=2，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=2n+n（n-1）=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，然后求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后在用裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．